문서의 임의 삭제는 제재 대상으로, 문서를 삭제하려면 삭제 토론을 진행해야 합니다. 문서 보기문서 삭제토론 피보나치 수열 (문단 편집) == 일반항의 유도 == 피보나치수열의 항의 비율 [math(\displaystyle\frac{F_n}{F_{n-1}})]의 극한값은 소위 [[황금비]]가 된다. 위에서 언급한 비네의 식에서 피보나치수열의 일반항을 황금비로 표시할 수 있는데, 황금비를 [math(\varphi)]라고 하고 [math(\varphi'=1-\varphi)] 라고 하면 피보나치수열의 일반항은 다음과 같다. [math(\displaystyle F_n=\frac{\left(\varphi^{n}-\varphi'{^n}\right)}{\left(\varphi-\varphi'\right)})] [math(\displaystyle \varphi=\frac{1+\sqrt{5}}{2})]인 무리수인 반면 피보나치수열의 모든 항은 자연수인 걸 감안하면 굉장히 신기한 수열인데, 증명 방법은 대략 다음과 같다. 황금비 [math(\varphi)]는 정의에 따라 [math(x^2-x-1=0)]의 0보다 큰 근이고, 0보다 작은 근은 [math(\varphi')]라고 하자. 그러면 [[근과 계수와의 관계]]에서 [math(\varphi+\varphi'=1, \varphi\varphi'=-1)]이다. 이를 이용해 [math(F_n=F_{n-1}+F_{n-2})]를 변형하여 [math(\left(F_n-\varphi F_{n-1}\right)=\varphi'\left(F_{n-1}-\varphi F_{n-2}\right))]과 [math(\left(F_n-\varphi'F_{n-1}\right)=\varphi\left(F_{n-1}-\varphi'F_{n-2}\right))]를 얻는다. 각각에서 [math(F_{n-1}-\varphi F_{n-2})]과 [math(F_{n-1}-\varphi'F_{n-2})]가 등비수열이고 [math(n=3)]일때 각각 [math(1-\varphi=\varphi')]와 [math(1-\varphi'=\varphi)]이다. 이를 이용해 일반항을 구하면 [math(n\geq3)]일 때 [math(F_{n-1}-\varphi F_{n-2}={\varphi'}^{n-2})]이고, [math(F_{n-1}-\varphi'F_{n-2}=\varphi^{n-2})]. 양변을 빼서 정리하면 [math(n\geq3)]일 때 [math(\displaystyle F_{n-2}=\frac{\varphi^{n-2}-{\varphi'}^{n-2}}{\varphi-\varphi'})]이므로 [math(n\geq1)]일 때로 정리하면 위의 식이 나온다. 일반적으로 [math(aZ_{n-2}+bZ_{n-1}+cZ_{n}=0)]의 꼴의 [[점화식]]이 주어진다면 [math(ax^2+bx+c=0)]의 두 근을 [math(\alpha, \beta)]라고 했을 때, [math(k\alpha^{n}+l\beta^{n})]의 형태로 일반항이 나오게 된다. [math(k,l)]은 이제 초항 2개를 연립해서 계수를 맞춰넣어서 계산하는데, 초항과 둘째항이 다른 루카스 수열 역시 점화식이 동일하기 때문에 일반항은 계수 [math(k, l)]만 다른 형태로 나오게 되며, 항의 비의 극한값은 여전히 황금비가 나온다.저장 버튼을 클릭하면 당신이 기여한 내용을 CC-BY-NC-SA 2.0 KR으로 배포하고,기여한 문서에 대한 하이퍼링크나 URL을 이용하여 저작자 표시를 하는 것으로 충분하다는 데 동의하는 것입니다.이 동의는 철회할 수 없습니다.캡챠저장미리보기